Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與y軸交點的最大值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)是偶函數(shù)的等價條件，即一次項的系數(shù)為零，求出a與b的關系式，令x=0求出圖象與y軸交點的縱坐標，再整理成關于a的一個函數(shù)，由解析式求出定義域，根據(jù)它的單調(diào)性求出最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-bx²-（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b，
即b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$=0，
即b=$\sqrt{4-{a}^{2}}$，a∈[-2，2]，
由函數(shù)f（x）=x²+（b-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）x+2a-b圖象與y軸交點的坐標為2a-b=2a-$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
∵y=2a-$\sqrt{4-{a}^{2}}$在[0，2]上是增函數(shù)，在[-2，0]上是減函數(shù)，
∴當a=2時，y有最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題是有關函數(shù)性質(zhì)的綜合題，考查了二次函數(shù)是偶函數(shù)的等價條件，復合函數(shù)的單調(diào)性問題，以及求函數(shù)的最值，難度較大．