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已知f（x）＝，|f（x）|的圖像如下圖所示，解不等式

f（－1）＞f（x＋a）．

 

答案：
解析：

解：（1）由得  或．

∴  f（x）的定義域為（－∞，）（，＋∞）．

　 （2） f（x）為奇函數(shù)． 

∵ ．

又或  ∴  f（x）為奇函數(shù)．

�。�3）f（x）在（－b，＋∞）上為減函數(shù)．  設，則

　  　

　　 

　　∵  ，  ∴  ，，

　　∴ 

　　∴  ，  ∴  ，

　　即．  ∴  f（x）為（－b，＋∞）上的減函數(shù)．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

已知f（x）＝，|f（x）|的圖像如下圖所示，解不等式

f（－1）＞f（x＋a）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：學習周報　數(shù)學　北師大課標高二版(選修1－2)　2009－2010學年　第34期　總第190期 北師大課標 題型：013

已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N+)，猜想f(x)的表達式為

[　　]
A．

f(x)＝

B．

f(x)＝

C．

f(x)＝

D．

f(x)＝

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

已知f（x）在R上是奇函數(shù)，且滿足f（x+4）＝f（x），當x∈（0,2）時，f（x）＝2x2，則f（7）＝


  1. A.
    -2
  2. B.
    2
  3. C.
    -98
  4. D.
    98

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆黑龍江虎林高中高二下學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結合構造函數(shù)和導數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是

 

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