Question

一個正方形被剖分為4個正方形，剖分圖的邊數(shù)為12，若一個正方形被剖分為2005個凸多邊形，試求剖分圖中邊數(shù)的最大值。

Answer 1

解析：由歐拉定理可知，簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)有關(guān)系：

由歐拉定理容易看出，若一個凸多邊形被剖分為個凸多邊形，則剖分圖中的頂點(diǎn)數(shù)，多邊形數(shù)，邊數(shù)有關(guān)系：                             （1）

下面在一般的情況下，即正方形被剖分為個凸多邊形時，求剖分圖中邊數(shù)的最大值，設(shè)剖分圖中的頂點(diǎn)數(shù)為，多邊形數(shù)為，邊數(shù)為

（一）先求邊數(shù)的上界

設(shè)原正方形的4個頂點(diǎn)是，若凸多邊形的頂點(diǎn)V則易知

≥（這里用表示通過頂點(diǎn)的邊數(shù)），于是有  ≤

這樣的頂點(diǎn)有個，于是有個上面的不等式，將它們相加求和，并注意到除去正方形四邊的每條邊恰是兩個凸多邊形的邊，有

≤

即有 ≥

因為 ≥，≥，≥，≥，

所以 ≥                              （2）

由公式（1），有

，

                              （3）

將（2）式代入（3）式，并整理有

≤

≤                                       （4）

 

（二）構(gòu)造例子，使邊數(shù)

過正方形的一邊相繼作條鄰邊的平行線，正方形被剖分為個矩形，

 

易知，邊數(shù)

               

綜合兩方面，剖分圖中邊數(shù)的最大值為，所以正方形剖分為個凸多邊形的邊數(shù)最大值為