Question

7．設函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求k的值；
（2）令函數(shù)h（x）=f（x）-f（$\frac{1}{x}$）．
①判斷函數(shù)h（x）的零點個數(shù)，并說明理由；
②求證：ln$\frac{1}{n}$＞$\frac{n+1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$）（n＞1，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得1-k=0，即可得到k=1；
（2）①函數(shù)h（x）有且只有一個零點．求得函數(shù)h（x）的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即h（x）在（0，+∞）遞減，又h（1）=0，即可得到；
②由①知，當x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即有l(wèi)nx＞$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），分別令x=$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，…，$\frac{n-1}{n}$，得到不等式，累加，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，化簡整理即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，
可得f′（1）=0，即1-k=0，
解得k=1；
（2）①函數(shù)h（x）有且只有一個零點．
理由如下：由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-（ln$\frac{1}{x}$+x）=2lnx+$\frac{1}{x}$-x，
h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
h（x）在（0，+∞）遞減，又h（1）=0，
即有h（x）在（0，+∞）有且只有一個零點；
②證明：由①知，當x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即2lnx+$\frac{1}{x}$-x＞0，
則lnx＞$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{x}$），
令x=$\frac{1}{2}$，則ln$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-2），
x=$\frac{2}{3}$，則ln$\frac{2}{3}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$-$\frac{3}{2}$），
x=$\frac{3}{4}$，則ln$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{4}$-$\frac{4}{3}$），
…
x=$\frac{n-1}{n}$，則ln$\frac{n-1}{n}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{n-1}{n}$-$\frac{n}{n-1}$），
累加可得，ln$\frac{1}{2}$+ln$\frac{2}{3}$+…+ln$\frac{n-1}{n}$＞$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-2+$\frac{2}{3}$-$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n-1}{n}$-$\frac{n}{n-1}$）
即ln$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$…$\frac{n-1}{n}$＞$\frac{1}{2}$[-2+（$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$）+（$\frac{2}{3}$-$\frac{4}{3}$）+…+（$\frac{n-2}{n}$-$\frac{n}{n-1}$）+$\frac{n-1}{n}$]
=$\frac{n-1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$）
=$\frac{n+1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$），
即ln$\frac{1}{n}$＞$\frac{n+1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$）（n＞1，n∈N^*）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時考查函數(shù)的零點的求法和不等式的證明，注意運用累加法，考查運算和推理能力，屬于中檔題．