Question

16．已知雙曲線$\frac{x}{9}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，AF₂，BF₂分別交y軸于P，Q兩點(diǎn)，若|AB|=6，則△PQF₁的周長為（　�。�

• A． 10
• B． 12
• C． 20
• D． 24

Answer 1

分析 利用條件求出b，再求出P，Q的坐標(biāo)，即可求出△PQF₁的周長．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x}{9}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=6，
∴$\frac{^{2}}{3}$=3，
∴b²=9，
∴A（-3$\sqrt{2}$，3），B（-3$\sqrt{2}$，-3），
∴AF₂的方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-3$\sqrt{2}$），令x=0，可得P（0，$\frac{3}{2}$），BF₂的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-3$\sqrt{2}$），令x=0，可得Q（0，-$\frac{3}{2}$），
∴|PQ|=3，|PF₁|=|QF₁|=$\sqrt{18+\frac{9}{4}}$=$\frac{9}{2}$，
∴△PQF₁的周長為3+9=12．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查△PQF₁的周長，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．