Question

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,求:

(1)BC₁與平面ABCD所成的角;

(2)BD₁與平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值;

(3)BC₁與平面BDD₁B₁所成的角.

Answer 1

解析:(1)在正方體中,由于CC₁⊥平面ABCD,

∴BC為斜線BC₁在平面ABCD內(nèi)的射影.

∴∠C₁BC為直線BC₁與平面ABCD所成的角.

在Rt△BCC₁中,tan∠C₁BC==1,∴∠C₁BC=45°.

∴直線BC₁與平面ABCD所成的角為45°.

(2)∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁,BD₁∩平面A₁B₁C₁D₁=D₁,

∴BD₁在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)的射影為B₁D₁.

∴∠BD₁B₁為斜線BD₁與平面A₁B₁C₁D₁所成的角.

在Rt△BB₁D₁中,tan∠BD₁B₁==,

∴∠BD₁B₁=arctan.

∴直線BD₁與平面A₁B₁C₁D₁所成的角為arctan.

(3)連結(jié)A₁C₁與B₁D₁交于點(diǎn)O₁,

∴B₁D₁⊥A₁C₁,即C₁O₁⊥B₁D₁.

又∵B₁B⊥平面A₁B₁C₁D₁,C₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

∴C₁O₁⊥BB₁.而BB₁∩B₁D₁=B₁,∴C₁O⊥平面BDD₁B₁.

連結(jié)BO₁,則BO₁為BC₁在平面BDD₁B₁內(nèi)的射影,

∴∠C₁BO₁為直線BC₁與平面B₁D₁DB所成的角.

在Rt△C₁BO₁中,sin∠C₁BO₁==,

∴∠C₁BO₁=30°.

∴直線BC₁與平面BDD₁B₁所成的角為30°.