Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=a［2-(12)^n-1］-b［2-(n+1)(12)^n-1］(n=1,2,…),其中a、b是非零常數(shù),則存在數(shù)列{x_n}、{y_n}使得(    )

A.a_n=x_n+y_n,其中{x_n}為等差數(shù)列,{y_n}為等比數(shù)列

B.a_n=x_n+y_n,其中{x_n}和{y_n}都為等差數(shù)列

C.a_n=x_n·y_n,其中{x_n}為等差數(shù)列,{y_n}為等比數(shù)列

D.a_n=x_n·y_n,其中{x_n}和{y_n}都為等比數(shù)列

Answer 1

C

解法一：當n=1時,a₁=S₁=a,

當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1

=a［2-()^n-1］-b［2-(n+1)() ^n-1］-a［2-() ^n-2］+b［2-n() ^n-2］

=a()^n-1+b［() ^n-1-n() ^n-1］

=［a-(n-1)b］() ^n-1,

∴a_n=［a-(n-1)b］()^n-1(n∈N^*)

解法二：（邏輯分析法）從等差、等比數(shù)列的前n項和的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行分析.公差為0的等差數(shù)列,公比為1的等比數(shù)列的前n項都是n的一次函數(shù).除此以外,等差數(shù)列的前n項和是二次函數(shù),等比數(shù)列的前n項和是q^n-1的形式.而等差加等差是等差,等比乘等比是等比,故只有C選項符合要求.