Question

8．命題P：y=ln（x²-kx+2）的定義域為R；命題q：x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則$\frac{（a+b）^{2}}{cd}$≥k+1恒成立，若命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q成立的等價條件，利用p∨q為真命題，p∧q為假命題，確定實數(shù)k的取值范圍

解答 解：y=ln（x²-kx+2）的定義域為R，
∴x²-kx+2＞0恒成立，
∴△=k²-8＜0，解的-2$\sqrt{2}$＜k＜2$\sqrt{2}$，
命題q：x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a+b}\\{xy=cd}\end{array}\right.$，
∴$\frac{（a+b）^{2}}{cd}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{y}{x}$+$\frac{y}{x}$+2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取等號，
∵$\frac{（a+b）^{2}}{cd}$≥k+1恒成立，
∴4≥k+1，
∴k≤3，
∵如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴p、q一真一假
①p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}＜k＜2\sqrt{2}}\\{k＞3}\end{array}\right.$，那么k的取值范圍：φ
②p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{k≤-2\sqrt{2}，或k≥2\sqrt{2}}\\{k≤3}\end{array}\right.$，那么k的取值范圍：k≤-2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$≤a≤3，
故k≤-2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$≤a≤3．

點評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．