Question

3．已知函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間[a，b]上滿足①f（x）＞0；②f′（x）＜0；③對(duì)任意的x₁，x₂∈[a，b]，式子$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$≤$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立．記S₁=$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx，S₂=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$•（b-a），S₃=f（b）（b-a），則S₁，S₂，S₃的大小關(guān)系為s₃＜s₁≤s₂．（按由小到大的順序）

Answer 1

分析 根據(jù)微積分中值定理，可判斷s₃＜s₁，再由定積分的幾何意義，函數(shù)的凹凸性，即可判斷s₁≤s₂的大小．

解答 解：由微積分中值定理：可知若函數(shù) f（x） 在 閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ，
使得：$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx=f（ξ）（b-a），a≤ξ≤b，
∵f′（x）＜0，f（x）在定義區(qū)間[a，b]單調(diào)遞減，f（b）＜f（ξ），
∴s₃＜S₁，
對(duì)任意的x₁，x₂∈[a，b]，式子$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$≤$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，
函數(shù)圖象可知：當(dāng)$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$=$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$時(shí)，
由定積分的幾何意義可知，S₁=$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$•（b-a）=S₂，
當(dāng)$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
由函數(shù)圖象可知：函數(shù)單調(diào)遞減且為凹函數(shù)，根據(jù)定積分的幾何意義可知：
S₁=$\int_{\;\;a}^{\;\;b}$f（x）dx＜$\frac{f（a）+f（b）}{2}$•（b-a）=S₂，
∴s₁≤s₂．
綜上可知：s₃＜s₁≤s₂．
故答案為：s₃＜s₁≤s₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查微積分中值定理和函數(shù)凹凸性的判斷，利用凹凸性判斷定積分的大小，過程繁瑣，綜合能力強(qiáng)，屬于中檔題．