Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時，f（x）=

ex

x

．
（Ⅰ）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（Ⅱ）若|f（x）|≥λ對?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，得f（0）=0．再由最小正周期為4，得到（2）和f（-2）的值．然后求（-2，0）上的解析式，通過在（-2，0）上取變量，轉(zhuǎn)化到（0，2）上，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）|f（x）|≥λ等價(jià)于|f（x）|_min≥λ，由f（x）的最小正周期為4得，問題轉(zhuǎn)化為求x∈[-2，2]時的|f（x）|_min，由（Ⅰ）易求；

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)-2＜x＜0時，0＜-x＜2，f（-x）=

e-x

-x

=-

1

xex

，
又f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=

1

xex

；
當(dāng)x=0時，由f（-0）=-f（0），可得f（0）=0；
∵f（x）有最小正周期4，
∴f（-2）=f（-2+4）=f（2），即-f（2）=f（2），得f（2）=0，
∴f（-2）=f（2）=0；
綜上，f（x）=

1 xex ，(-2＜x＜0) 0，(x=0，±2) ex x ，(0＜x＜2)

；
（Ⅱ）|f（x）|≥λ等價(jià)于|f（x）|_min≥λ，
∵f（x）的最小正周期為4，
∴只需求x∈[-2，2]時的|f（x）|_min，
由（Ⅰ）可知，x∈[-2，2]時，|f（x）|_min=0，此時，x=0或±2，
∴λ≤0．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力．