Question

7．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x＜1}\\{4（x-a）（x-3a），x≥1}\end{array}\right.$若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 易知2⁰-1=0，從而可得f（x）=4（x-a）（x-3a）=0有且只有一個解，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{3a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：當x＜1時，f（x）=2^x-1=0，
解得，x=0；
故當x≥1時，f（x）=4（x-a）（x-3a）=0有且只有一個解，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{3a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{3}$≤a＜1；
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查了分類討論的思想應用及方程的根與函數(shù)的零點的關系應用．