Question

17．給出下列命題：
①存在實數x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數$y=\frac{{{{sin}^2}x-sinx}}{sinx-1}$是奇函數；
④函數$y=|sinx-\frac{1}{2}|$的周期是π；
⑤函數y=ln|x-1|的圖象與函數y=-2cos（πx）（-2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于6．
其中正確命題的序號是⑤（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①由sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$判斷命題錯誤；
②當α，β是第一象限角且α＞β時cosα＜cosβ不一定成立；
③根據定義域不關于原點對稱判斷函數y不是奇函數；
④由正弦函數的圖象與性質知函數$y=|sinx-\frac{1}{2}|$的周期是2π；
⑤由圖象變化的法則和余弦函數的特點作出函數的圖象，由對稱性可得答案．

解答 解：對于①，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴不存在實數x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$，①錯誤；
對于②，α，β是第一象限角，且α＞β，
則cosα＜cosβ不一定成立，
如α=405°，β=45°時，cos405°=cos45°，②錯誤；
對于③，函數$y=\frac{{{{sin}^2}x-sinx}}{sinx-1}$=sinx，
其中sinx≠1，即x≠$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴y不是奇函數，③錯誤；
對于④，由正弦函數的圖象與性質知，
函數$y=|sinx-\frac{1}{2}|$的周期是2π，④錯誤；
對于⑤，由圖象變化的法則可知：
y=lnx的圖象作關于y軸的對稱后和原來的一起構成y=ln|x|的圖象，
向右平移1個單位得到y(tǒng)=ln|x-1|的圖象，再把x軸上方的圖象不動，
下方的圖象對折上去可得g（x）=ln|x-1||的圖象；
又f（x）=-2cosπx的周期為T=2，如圖所示：
兩圖象都關于直線x=1對稱，且共有6個交點，
由中點坐標公式可得：x_A+x_B=-2，x_D+x_C=2，x_E+x_F=6，故所有交點的橫坐標之和為6，⑤正確；
綜上，正確的命題是⑤．
故答案為：⑤．

點評 本題考查了命題真假的判斷與應用問題，涉及知識點多，綜合性強．