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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，點E是棱PB上的動點．
（Ⅰ）當PD∥平面EAC時，確定點E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角A-CE-P余弦值．
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（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=
π
4
，
∴∠DCA=∠BAC=
π
4
．又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形．
∴DC=
2
AC=
2
（
2
AB）=2AB．
連接BD，交AC于點M，則
DM
MB
=
DC
AB
=2
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，
PE
EB
=
DM
MB
=2，
即PE=2EB時，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，
如圖建立空間直角坐標系．
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設PA=AB=BC=a，則A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，
2a
3
，）．
設
n1
=(x，y，1)，為平面EAC的一個法向量，
則
n1
⊥
AC
，
n1
⊥
AE
，
∴
ax+ay=0
2ay
3
+
a
3
=0
，解得x=
1
2
，y=-
1
2
，
∴n
•
1
=（
1
2
，-
1
2
，1）．
設
n2
=（
•
x
，
•
y
，1）為平面PBC的一個法向量，
則
n2
⊥
BC
，
n2
⊥
BP
，
又
BC
=（a，0，0），
BP
=（0，-a，a），
∴
ax′=0
-ay′+a=0
，解得x′=0，y′=1，
∴
n2
=（0，1，1）．∴cos
＜n1
，
n2
＞
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
3
6

∴二面角A-CE-P的余弦值為
3
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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