Question

19．已知函數f（x）=x²（e^x+e^-x）-（2x+1）²（e^2x+1+e^-2x-1），則滿足f（x）＞0的實數x的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，-1）
• C． （-$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=x²（e^x+e^-x），由f（x）＞0，得g（x）＞g（2x+1），然后利用導數求得函數g（x）的單調性，結合函數為偶函數可得|x|＞|2x+1|，最后求解絕對值的不等式得答案．

解答 解：設g（x）=x²（e^x+e^-x），則由f（x）＞0，得g（x）＞g（2x+1），
∵g（-x）=g（x），∴g（x）為偶函數，
當x≥0時，g′（x）=2x（e^x+e^-x）+x²（e^x-e^-x）≥0，
∴函數g（x）在[0，+∞）上為增函數，
則由g（x）＞g（2x+1），得|x|＞|2x+1|，
解得：-1$＜x＜-\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查不等式的解法，訓練了利用導數研究函數的單調性，考查絕對值不等式的解法，是中檔題．