Question

【題目】在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析下（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明，進(jìn)而證得得解；（2）在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，、分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求得平面的法向量，利用線面角的向量公式求解

（1）取的中點(diǎn)，連接，，

則在中，，，

又點(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以．

而且，

所以，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，

以為原點(diǎn)，，、分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，，

所以，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即

取，得，

設(shè)直線與平面所成角為，

則．

即直線與平面所成角的正弦值為．