Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

分析：將x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[0，1]時，|f（x）|≤1恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

4ax≤4x3+1 4ax≥4x3-1

，通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²+

1

4x

，h（x）=x²-

1

4x

，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）_min與h（x）_max，即可求得答案．

解答：解：依題意，當(dāng)x∈[0，1]時，|f（x）|≤1恒成立，
∴-1≤f（x）≤1，即

4x3-4ax≥-1 4x3-4ax≤1

?

4ax≤4x3+1 4ax≥4x3-1

，
∵x∈[0，1]，當(dāng)x=0時，顯然成立；
當(dāng)0＜x≤1時，

a≤ 4x3+1 4x a≥ 4x3-1 4x

恒成立，即

a≤x2+ 1 4x a≥x2- 1 4x

恒成立，
令g（x）=x²+

1

4x

，h（x）=x²-

1

4x

，
則

a≤[g(x)]min a≥[h(x)]max

．
∵當(dāng)0＜x≤1時，g′（x）=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

=

(2x-1)(4x2+2x+1)

4x2

，
∴當(dāng)0＜x＜

1

2

時，g′（x）＜0；
當(dāng)

1

2

＜x≤1時，g′（x）＞0；
∴當(dāng)x=

1

2

時，g（x）取到最小值，即g（x）_min=g（

1

2

）=

1

4

+

1

2

=

3

4

；
同理可得，h′（x）=2x+

1

4x2

＞0，h（x）=x²-

1

4x

在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，h（x）_max=h（1）=1-

1

4

=

3

4

．
∴

a≤ 3 4 a≥ 3 4

，
∴a=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與方程思想，考查恒成立問題，突出抽象思維、邏輯思維能力、運(yùn)算能力的考查，屬于難題．