Question

20．若2x²+y²=1，求$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 運(yùn)用乘1法，可得$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=（2x²+y²）（$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$），展開后運(yùn)用基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：由2x²+y²=1，
可得$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=（2x²+y²）（$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）
=10+$\frac{9{y}^{2}}{2{x}^{2}}$+$\frac{2{x}^{2}}{{y}^{2}}$≥10+2$\sqrt{\frac{9{y}^{2}}{2{x}^{2}}•\frac{2{x}^{2}}{{y}^{2}}}$=10+6=16．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{9{y}^{2}}{2{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}}{{y}^{2}}$，即x²=$\frac{3}{8}$，y²=$\frac{1}{4}$時，
取得最小值，且為16．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意乘1法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．