Question

已知f（x）=2ax-

b

x

+lnx在x=-1，x=

1

2

處取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對x∈[

1

4

，4]時，f（x）＞c恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=-1與x=

1

2

處取得極值，
∴f′（-1）=0，f′（

1

2

）=0，
即

2a+b-1=0 2a+4b+2=0.

解得

a=1 b=-1.

∴所求a、b的值分別為1、-1．
（2）由（1）得f′（x）=2-

1

x2

+

1

x

=

1

x2

（2x²+x-1）=

1

x2

（2x-1）（x+1）．
∴當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈[

1

2

，4]時，f′（x）＞0．
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，4]上的極小值．又∵只有一個極小值，
∴f（x）_min=f（

1

2

）=3-ln2．
∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）_min=3-ln2．
∴c的取值范圍為c＜3-ln2．