Question

 

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，已知（n∈N*）．

（1）證明{a_n}是等差數(shù)列，并求a_n；

（2）設(shè)m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：＋≥；

（3）對(duì)于（2）中的命題，對(duì)一般的各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）∵ ，

∴   (n≥2)．

兩式相減得．

整理得 ，

∵ ，

∴ （常數(shù)）．

∴ {a_n}是以2為公差的等差數(shù)列．

又，即，解得，

∴ a_n=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分

（2）由（1）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由

≥≥=0，

即≥． ………………………………………………………………7分

（3）結(jié)論成立，證明如下：

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，則，

∵

，

把代入上式化簡(jiǎn)得

=≥0，

∴ S_m+S_p≥2S_k．

又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得證．………………………………………………………………14分