Question

17．命題p：?x∈R，e^x-mx=0，命題q：f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-mx²-2x在[-1，1]遞減，若p∨（?q）為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [-3，0]
• C． [-3，e）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 首先求出函數(shù)m=$\frac{{e}^{x}}{x}$的極值，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-mx²-2x在[-1，1]遞減的充要條件，最后利用p假q真求出m的交集即可．，

解答 解：命題p：?x∈R，e^x-mx=0，
則：m=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$
則：g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
所以：當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)g（x）取極小值，g（1）=e．
所以：函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋海?∞，0）∪[e，+∞）．
即：m∈（-∞，0）∪[e，+∞）．
命題q：f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-mx²-2x在[-1，1]遞減，
所以：f′（x）=x²-2mx-2
則：$\left\{\begin{array}{l}f′（1）≤0\\ f′（-1）≤0\end{array}\right.$
解得：$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}$．
由于p∨（?q）為假命題，
則：p假q真，
所以：$\left\{\begin{array}{l}0≤m≤e\\-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$
則：$0≤m≤\frac{1}{2}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，復(fù)合命題的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．