Question

已知：如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B上的點，A₁M=

1

3

A₁B，N是B₁D₁上的點，B₁N=

1

3

B₁D₁，
（I） 求證：直線MN是異面直線A₁B與B₁D₁的公垂線；
（Ⅱ） 求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明直線MN是異面直線A₁B與B₁D₁的公垂線．
（Ⅱ）由

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），利用向量法能求出直線MN與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （I）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
A₁（1，0，1），B（1，1，0），

A1B

=（0，1，-1），
D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），

B1D1

=（-1，-1，0），
設M（x，y，z），N（a，b，c），

A1M

=（x-1，y，z-1），

B1M

=（a-1，b-1，c-1），
∵M是A₁B上的點，A₁M=

1

3

A₁B，N是B₁D₁上的點，B₁N=

1

3

B₁D₁，
∴（x-1，y，z-1）=（0，

1

3

，-

1

3

），∴M（1，

1

3

，

2

3

），
（a-1，b-1，c-1）=（-

1

3

，-

1

3

，0），∴N（

2

3

，

2

3

，1），
∴

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

），
∴

MN

•

A1B

=0，

MN

•

B1D1

=0，
∴MN⊥A₁B，MN⊥B₁D₁．
又MN∩A₁B=M，MN∩B₁D₁=M，
∴直線MN是異面直線A₁B與B₁D₁的公垂線．
（Ⅱ）解：設直線MN與平面ABCD所成角為θ，
∵

MN

=（-

1

3

，

1

3

，

1

3

），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
∴sinθ=|cos＜

MN

，

n

＞|=|

1 3

1 3

|=

3

3

．
∴直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查異面直線的公垂線的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．