Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓C的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與圓x²+y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)（M，N不是左、右頂點(diǎn)），若以MN為直徑的圓恰好過橢圓C的右頂點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，求直線AP的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓C的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與圓x²+y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$相切，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出直線AP的斜率的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，
過橢圓C的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與圓x²+y²=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|\sqrt{3}c|}{\sqrt{3+1}}=\frac{a}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，得4k²-m²+3＞0，（*）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵以MN為直徑的圓恰好過橢圓C的右頂點(diǎn)A（2，0），
∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{AN}$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（k²+1）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4
=$\frac{7{m}^{2}+4{k}^{2}+16km}{3+4{k}^{2}}$=0，
∴7m²+4k²+16km=（7m+2k）（m+2k）=0，
解得m=-$\frac{2k}{7}$滿足（*）式，
∴2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=x₁+x₂，y₁+y₂）=（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，$-\frac{8{k}^{2}m}{3+4{k}^{2}}+2m$），∴P（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
∴直線AP的斜率k_AP=-$\frac{\frac{3m}{3+4{k}^{2}}}{\frac{4km}{3+4{k}^{2}}+2}$=$\frac{3m}{8{k}^{2}+6+4km}$=$\frac{k}{8{k}^{2}+7}$=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$，
當(dāng)k＜0時(shí)，k_AP=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$≥-$\frac{1}{4\sqrt{14}}$=-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，此時(shí)-$\frac{\sqrt{14}}{56}$≤k_AP＜0．
當(dāng)k＞0時(shí)，k_AP=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$≤$\frac{1}{4\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{56}$，此時(shí)$0＜{k}_{AP}≤\frac{\sqrt{14}}{56}$．
綜上，直線AP的斜率的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{14}}{56}$]．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、直線的斜率、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．