Question

1．已知冪函數(shù)$g（x）={x^{-\frac{1}{2}{m^2}+m+\frac{3}{2}}}$（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且g（2）＜g（3）
（1）求m的值和函數(shù)g（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）=ag（x）+a²x+3（a∈R）在區(qū)間[-2，-1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用冪函數(shù)的性質(zhì)可得：-m²+m+2＞0，且為偶數(shù)．解出即可．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用分類討論集合函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：（1）冪函數(shù)$g（x）={x^{-\frac{1}{2}{m^2}+m+\frac{3}{2}}}$（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)是偶函數(shù)，g（2）＜g（3）函數(shù)是增函數(shù)，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（m-1）²+2是偶數(shù)，
∴m=1，可得g（x）=x²滿足題意．
（2）函數(shù)f（x）=ag（x）+a²x+3=ax²+a²x+3．
當(dāng)a=0時(shí)，舍；
當(dāng)a＞0時(shí)⇒a≥4；
當(dāng)a＜0⇒a＜0．
∴a∈（-∞，0）∪[4，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．