Question

已知≤x≤,則

(1)1-x的取值范圍是［,］;

(2)x(1-x)的取值范圍是［,］.

以上命題是否正確,若錯(cuò)誤予以糾正;若正確,請(qǐng)予證明.

Answer 1

剖析:(1)已知x的取值范圍可求得-x的取值范圍進(jìn)而可求出1-x的取值范圍.

    (2)由x以及1-x的取值范圍求x(1-x)的取值范圍時(shí),利用不等式的疊乘性要注意等號(hào)成立的條件.

解:(1)該命題正確.

    ∵≤x≤,∴-≤-x≤-.

    ∴≤1-x≤,

    即1-x的取值范圍是［,］.

    (2)該命題不對(duì).

    ∵≤x≤,≤1-x≤,

    ∴＜x(1-x)＜(等號(hào)成立的條件不一致)

    正確解法應(yīng)為x(1-x)=-x²+x=-(x-)²+在［,上單調(diào)遞增,在［,］上單調(diào)遞減.

    故x(1-x)的取值范圍是［,］.

講評(píng):不等式的性質(zhì)中,同向不等式可以作加法運(yùn)算,同向不等式兩邊為正時(shí),可以作乘法運(yùn)算.但如果涉及到等號(hào),能否取到最值,則要同時(shí)滿足各個(gè)取等條件,這一點(diǎn)常易疏漏.