Question

9．是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin²x+acosx在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為1？若存在，求出相對應的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 令cosx=t，f（t）=-t²+at+1，令f（t）在[0，1]上的最大值為1解出a即可．

解答 解：y=sin²x+acosx=-cos²x+acosx+1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
令cosx=t，則t∈[0，1]，
令f（t）=-t²+at+1，
（1）若$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0時，f（t）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f_max（t）=f（0）=1，符合題意；
（2）若$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2時，f（t）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f_max（t）=f（1）=a=1，即a=1（舍）；
（3）若0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2時，則f（t）在[0，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{a}{2}$，1]上單調(diào)遞減，
∴f_max（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1=1，方程無解；
綜上，a≤0．

點評 本題考查了三角函數(shù)恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，換元思想的應用，屬于中檔題．