Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（x+1），其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若f（x）在x=1處有極值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）計(jì)算f′(x)=2ax+

2

x+1

因?yàn)閒（x）在x=1處有極值所以f′（1）=2a+1=0可解a=-

1

2

（2）解法一由f（x）在[2，3]上是增函數(shù)得f′(x)=2ax+

2

x+1

＞0在[2，3]上恒成立，利用分離參數(shù)，設(shè)y=-(x+

1

2

)2+

1

4

x∈[2，3]求函數(shù)的最大值即可．
解法二依題意得fn（x）＞0對x∈[2，3]恒成立，2ax+

2

x+1

＞0即

ax2+ax+1

x+1

＞0恒成立即ax²+ax+1＞0對x∈[2，3]恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題．

解答：解：（1）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）
又f^(x)=2ax+

2

x+1

∴由題意得f′（1）=2a+1=0
∴a=-

1

2

（2）解法一：依題意得f′（x）＞0對x∈[2，3]恒成立，∴2ax+

2

x+1

＞0
∴2ax＞-

2

1+x

，a＞

1

-x2-x

=

1

-(x+ 1 2 )2+ 1 4

∵x∈[2，3]，∴-(x+

1

2

)2+

1

4

的最小值為-(3+

1

2

)2+

1

4

=-12
∴

1

-(x+ 1 2 )2+ 1 4

的最大值為-

1

12

又因a=-

1

12

時(shí)符合題意∴a≥-

1

12

為所求
解法二：依題意得fn（x）＞0對x∈[2，3]恒成立，∴2ax+

2

x+1

＞0即

ax2+ax+1

x+1

＞0
∵1+x＞0，
∴ax²+ax+1＞0對x∈[2，3]恒成立
令g（x）=ax²+ax+1
（1）當(dāng)a=0時(shí)，1＞0恒成立
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線g（x）開口向下，可得g（x）_min=g（3）＞0
即9a+3a+1≥0，∴0＞a＞-

1

12

（
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線g（x）開口向上，可得g（x）_min=g（2）＞0
即4a+2a+1＞0，
∴a＞-

1

6

，即a＞0
又因a=-

1

12

時(shí)符合題意
綜上可得a≥-

1

12

為所求

點(diǎn)評：了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號）．會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間與極值．．