Question

（2013•徐州一模）已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1  (n∈N*)，且a₁=3．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并給出證明；
（2）求證：當n≥2時，

a

n n

≥4nn．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1  (n∈N*)，且a₁=3，分別令 n=1，2，3即可求解，進而可猜想，然后利用數(shù)學歸納法進行證明即可
（2）由（1）可得a_n=n+2，從而有ann=（n+2）ⁿ，利用二項式定理展開后即可證明

解答：解：（1）∵an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1  (n∈N*)，且a₁=3．
∴a₂=4，a₃=5，a₄=6
猜想a_n=n+2
證明：①當n=1時顯然成立
②假設n=k時（k≥1）時成立，即a_k=k+2
則n=k+1時，a_k+1=

1

2

ak2-

1

2

kak+1=

1

2

(k+2)2-

1

2

(k+1)(k+2)+1
=

1

2

(k+2)+1即n=k+1時命題成立
綜上可得，a_n=n+2
證明：（2）∵a_n=n+2，n≥2
∴ann=（n+2）ⁿ=

C

0 n

•nn+

2C

1 n

•nn-1+

4C

2 n

•nn-2+…+

C

n n

•2n
≥

C

0 n

•nn+

2C

1 n

•nn-1+

4C

2 n

•nn-2
=5nⁿ-2n^n-1=4nⁿ+n^n-1（n-2）≥4nⁿ，即證

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項綜的應用及歸納法的應用，解答（2）的關鍵是二項展開式的應用．