Question

14．命題p：“?x∈R，2^x-1＞0”，命題q：“函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$]最小值為2，則下列命題正確的是（　�。�

• A． 命題“p∧q”是真命題
• B． 命題“p∧（￢q）”是真命題
• C． 命題“（￢p）∧q”是真命題
• D． 命題“（￢p）∧（￢q）”是真命題

Answer 1

分析 根據(jù)x≤0時，2^x-1≤0，可判斷p，根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質，利用換元法，求出函數(shù)的最小值，可判斷q，進而得到答案．

解答 解：當x≤0時，2^x-1≤0，
故命題p：“?x∈R，2^x-1＞0”為假命題；
令t=sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$]，則t∈（0，1]，
此時y=t+$\frac{1}{t}$為減函數(shù)，當t=1，即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最小值為2，
故命題q：“函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$]最小值為2“為真命題，
故命題“p∧q”，“p∧（￢q）”，“（￢p）∧（￢q）”是假命題，
命題“（￢p）∧q”是真命題，
故選：C．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了全稱命題，復合命題，對勾函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．