Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面A₁ACC₁，∠ACC₁=60°，AA₁=BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求證：平面BDC₁⊥平面ABC；
（Ⅲ）求直線AA₁與平面BDC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接B₁C交C₁B于O，連接OD，利用OD是三角形B₁CA的中位線，說(shuō)明OD∥B₁C，然后證明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）證明平面BDC₁的直線C₁D，垂直平面ABC內(nèi)的兩條相交直線BC與AC，即可證明平面BDC₁⊥平面ABC；
（Ⅲ）求直線AA₁與平面BDC₁所成角的正弦值，轉(zhuǎn)化為直線CC₁與平面BDC₁所成角的正弦值，利用（Ⅱ）的結(jié)論，作CF⊥BD通過(guò)解三角形即可求解．

解答：解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面A₁ACC₁，∠ACC₁=60°，AA₁=BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）連接B₁C交C₁B于O，連接OD，因?yàn)閹缀误w是三棱柱，∴O為B₁C的中點(diǎn)，
∴OD是三角形B₁CA的中位線，∴OD∥B₁C，
∵OD?平面BDC₁，B₁A?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁；

（Ⅱ）∵BC⊥平面A₁ACC₁，∴C₁D⊥BC，
又∠ACC₁=60°，AA₁=BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)．∴C₁D⊥AC，
又BC∩AC=C，
∴C₁D⊥平面ABC，
∵CD?平面ABC，
∴平面BDC₁⊥平面ABC；
（Ⅲ）直線AA₁與平面BDC₁所成角的正弦值，就是直線CC₁與平面BDC₁所成角的正弦值，
因?yàn)槠矫鍮DC₁⊥平面ABC，所以過(guò)C作CF⊥BD于F，連接C₁F，
∴sin∠CC₁F=

CF

C1C

=

BC•CD BD

C1C

=

2×1 5

2

=

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判斷與證明，直線與平面所成的角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力，正確作出直線與平面所成的角是解題的關(guān)鍵．