Question

證明關(guān)于x的一元二次不等式x²+px+q≤0的解集只含有一個(gè)元素的充要條件是p²=4q.

Answer 1

分析:證明充要條件問題,必須分清條件與結(jié)論,由“條件”“結(jié)論”，是證命題的充分性；由“結(jié)論”“條件”，是證命題的必要性.

證明:命題中的條件為p²=4q.

必要性:解不等式x²+px+q≤0.

若Δ=p²-4q＞0,則

不等式的解集為{x|≤x≤},不合題意.

若Δ＜0,則x²+px+q恒大于0.

原不等式的解集為空集,不合題意.

所以,不等式x²+px+q≤0的解集中只含有一個(gè)元素時(shí),Δ=p²-4q=0,即p²=4q.

充分性:∵p²=4q,

∴x²+px+q=x²+px+=(x+)²≤0.

∴x+=0,即x=-,

即原不等式的解集只有一個(gè)元素-.

綜上可得x²+px+q≤0的解集只含有一個(gè)元素的充要條件是p²=4q.