Question

14．已知直線l經過坐標原點，且與圓x²+y²-4x+3=0相切，切點在第四象限，則直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和圓的半徑，又直線l過原點且與圓相切，得到直線l的斜率存在，所以設出直線l的方程為y=kx，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，讓d等于圓的半徑列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，由圖象得到滿足題意的k的值，寫出直線l的方程即可．

解答 解：把圓方程化為標準方程得：（x-2）²+y²=1，
所以圓心坐標為（2，0），圓的半徑r=1，
由直線l過原點，當直線l的斜率不存在時，不合題意，
則設直線l的方程為y=kx，
因為直線l與已知圓相切，所以圓心到直線的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=1，
化簡得：k²=$\frac{1}{3}$，解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又切點在第四象限，
根據圖象，得到滿足題意的k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則直線l的方程為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故答案為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

點評 此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．