Question

15．已知一種動物患有某種疾病的概率為0.1，需要通過化驗血液來確定是否患該種疾病，化驗結(jié)果呈陽性則患病，呈陰性則沒有患病，多只該種動物檢測時，可逐個化驗，也可將若干只動物的血樣混在一起化驗，僅當(dāng)至少有一只動物的血呈陽性時混合血樣呈陽性，若混合血樣呈陽性，則該組血樣需要再逐個化驗．
（1）求2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率；
（2）現(xiàn)有4只該種動物的血樣需要化驗，有以下三種方案
方案一：逐個化驗；
方案二：平均分成兩組化驗；
方案三：混合在一起化驗．
請問：哪一種方案更適合（即化驗次數(shù)的期望值更�。�．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)ξ為2只該種動物中血液呈陽性的只數(shù)，則ξ～B（2，0.1），由此能求出2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率．
（Ⅱ）分別求出三種方案的化驗次數(shù)的期望值，由此能得到4只動物混合在一起化驗更合適．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)ξ為2只該種動物中血液呈陽性的只數(shù)，則ξ～B（2，0.1），
這2只動物中只要有一只血樣呈陽性，它們的混合血樣呈陽性，
所求概率為p（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=1-（1-0.1）²=0.19．
∴2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率為0.19．
（Ⅱ）方案一：4只動物都得化驗，所需化驗次數(shù)為4次；
方案二：設(shè)所需化驗次數(shù)為X，則X的所有可能取值為2，4，6，
P（X=2）=0.81×0.81=0.6561，
P（X=4）=2×0.81×0.19=0.3076，
P（X=6）=0.19×0.19=0.0361，
∴EX=2×0.6561+4×0.3078+6×0.0361=2.76；
方案三：設(shè)所需化驗次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為1，5，
由于4只動物的混合血樣呈陰性的概率為0.9⁴=0.6561，
∴P（Y=1）=0.6561，
P（Y=5）=1-0.6561，
∴EY=1×0.6561+5×0.3439=2.3756．
∵2.3756＜2.76＜4，
∴4只動物混合在一起化驗更合適．

點評 本題主要考查相互獨立事件概率、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、分析問題和解決問題的能力及應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論思想．