Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）當a＞1時，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）若函數(shù)y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，求t的值；
（3）若存在x₁，x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=a^xlna+2x﹣lna=2x+（a^x﹣1）lna  
由于a＞1，
故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增  
（2）當a＞0，a≠1時，
因為f′（0）=0，且f′（x）在R上單調遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0
所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

又函數(shù)y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，
所以方程f（x）=t±1有三個根，
而t+1＞t﹣1，
所以t﹣1=（f（x））_min=f（0）=1，
解得t=2；
（3）因為存在x₁，x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，
所以當x∈[﹣1，1]時，
|（f（x））_max﹣（f（x））_min|
=（f（x））_max﹣（f（x））_min
≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
所以當x∈[﹣1，1]時，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（﹣1），f（1）}，
而，
記，
因為（當t=1時取等號），
所以在t∈（0，+∞）上單調遞增，
而g（1）=0，
所以當t＞1時，g（t）＞0；
當0＜t＜1時，g（t）＜0，也就是當a＞1時，f（1）＞f（﹣1）；
當0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1）
①當a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1a﹣lna≥e﹣1a≥e，
②當0＜a＜1時，由，
綜上知，所求a的取值范圍為．