Question

3．函數(shù)f（x）=x²+ax+b，（x∈R），有兩個不等的實數(shù)根，都在（0，1）之間．求b²+ab+b的取值范圍．

Answer 1

分析 首先利用二次函數(shù)的關(guān)系式，把b²+ab+b轉(zhuǎn)化成f（0）f（1），進一步利用根和系數(shù)的關(guān)系建立不等式最后確定結(jié)果

解答 解：二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b的零點為x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
且二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，
則：f（0）=b=x₁x₂＞0，
f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）=1+a+b＞0
f（0）f（1）=b²+ab+b=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤（$\frac{{x}_{1}+1-{x}_{1}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{2}+1-{x}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{16}$
所以：0＜b²+ab+b≤$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查的知識要點：二次函數(shù)的零點和一元二次方程的根的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，及相關(guān)的運算；屬于中檔題