Question

15．平面上有以O為圓心，以1為半徑的圓，圓上有三點A，B，C，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$滿足等式m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，這里m，n∈R、mn≠0．
（1）若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，證明：m²+n²=1；
（2）若m=n=-1，試判斷△ABC的形狀并證明．

Answer 1

分析 （1）運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及平方法，向量的平方即為模的平方，化簡整理即可得證；
（2）△ABC的形狀為等邊三角形．由平方法，運用向量的平方即為模的平方，以及向量的數(shù)量積的定義和夾角，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
由m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，
兩邊平方可得m²$\overrightarrow{OA}$²+n²$\overrightarrow{OB}$²+2mn$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$²，
由A，B，C在半徑為1的圓上，可得：
m²+n²=1；
（2）△ABC的形狀為等邊三角形．
當m=n=-1，即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OC}$，
兩邊平方可得，$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$²，
即為$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$=1•1•cos∠AOB，
可得∠AOB=120°，
同理可得∠BOC=120°，∠COA=120°，
即有△ABC的內(nèi)角均為60°，
則△ABC的形狀為等邊三角形．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的平方即為模的平方，考查三角形的形狀的判斷，注意運用平方法，考查運算能力，屬于中檔題．