Question

14．有一塊直角三角形木板，如圖所示，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm．根據(jù)需要，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形木板，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，應(yīng)怎樣裁才能使正方形木板面積最大，并求出這個(gè)正方形木板的邊長．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)出正方形邊長為a，根據(jù)勾股定理建立關(guān)系，利用相似三角形的性質(zhì)求解邊長的關(guān)系，即可求解最大值即可．

解答 解：如圖（1）所示，設(shè)正方形DEFG的邊長為x cm，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，交DE于N，
因?yàn)镾_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，
所以AC•BC=AB•CM，即3×4=5•CM．所以CM=$\frac{12}{5}$．
因?yàn)镈E∥AB，所以△CDE∽△CAB．
所以$\frac{CN}{CM}=\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5}$
所以x=$\frac{60}{37}$
如圖（2）所示，設(shè)正方形CDEF的邊長為y cm，因?yàn)镋F∥AC，所以△BEF∽△BAC．
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{EF}{AC}$，$\frac{3-x}{3}=\frac{y}{4}$．
∴y=$\frac{12}{7}$．
∵x=$\frac{60}{37}$，y=$\frac{12}{7}$，
∴x＜y．
所以當(dāng)按圖（2）的方法裁剪時(shí)，正方形面積最大，其邊長為$\frac{12}{7}$cm．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，再根據(jù)相似三角形的判定定理及性質(zhì)進(jìn)行解答．