Question

設(shè)△ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)，圓M為△ABC的外接圓．
（Ⅰ）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)（1，3）且與圓M相交于P、Q，弦PQ長(zhǎng)為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)圓M的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將點(diǎn)代入可得方程組，由此可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l與x軸垂直，則l：x=1，可知符合題意；若直線l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0，求得點(diǎn)M（0，-1）到l的距離，利用弦PQ長(zhǎng)為，即可求得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
因?yàn)閳AM過(guò)點(diǎn)，所以，…（4分）
解得，所以圓M的方程為x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4． （7分）
（Ⅱ）若直線l與x軸垂直，則l：x=1，
由，得，所以PQ=，符合題意． …（9分）
若直線l與x軸不垂直，設(shè)l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0
點(diǎn)M（0，-1）到l的距離
∴PQ=，…（12分）
∴，此時(shí)l方程為
綜上所述，直線l的方程是x=1或． …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法，利用圓的特殊性．