Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F₁PF₂＝．

(1)求橢圓離心率的范圍；

(2)求證△F₁PF₂的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　不妨設(shè)橢圓方程＋＝1(a＞b＞0)，由焦半徑公式得橢圓上一點到焦點的距離為a±ex0．在△F1PF2中，運用余弦定理，則問題可解． 　　解答　　設(shè)橢圓方程為＋＝1，(a＞b＞0) 　　P點坐標為(x0，y0)，(y0≠0) 　　(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0， 　　在△F1PF2中， 　　cos＝＝， 　　由此解得x02＝． 　　∵x0∈(－a，a)，∴x02∈[0，a2)， 　　∴0≤＜a2解得e≥． 　　∴橢圓離心e∈[，1)． 　　(2)∵x02＝， 　　∴y02＝，|y0|＝， 　　∴＝|y0||F1F2| 　�。�·2c＝b2．得證． 　　評析　　橢圓上的點與兩個焦點F1、F2所成的三角形，常稱之為焦點三角形，解焦點三角形問題經(jīng)常使用三角形邊角關(guān)系定理．解題中，通過變形，使之出現(xiàn)|PF1|＋|PF2|，這樣便于運用橢圓的定義，得到a、c關(guān)系，打開解題的思路．