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平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,點E、F分別是線段AB、CD的中點，求證：EF∥β.

分析一：可考慮由線線平行證明線面平行，即在β內(nèi)找與EF平行的直線，而AB、CD的中點E、F使我們聯(lián)想到中位線.?

證法一：如圖(1)，設(shè)E與CD確定平面CEF，它與平面β交于GD,AB與CG確定的平面交α于AC，交β于GB，則由面面平行的性質(zhì)定理可得AC∥GB.?

∵AE=BE,∴CE=GE.?

又∵F是CD的中點，?

∴EF是△CGD的中位線，即EF∥GD，GDβ.?

∴EF∥β.

分析二：證明線面平行，除了由線線平行外，還可利用面面平行證明，即過EF找或作一個平面，使之與β平行，E、F分別是AB、CD的中點仍然是解決問題的重要突破口.

證法二：如圖(2)，連結(jié)AD，取AD中點G，連結(jié)EG、FG.?

∵EG∥BD,BDβ,∴EG∥β.同理，GF∥α.?

設(shè)平面ADC交β于DH.∵α∥β,∴AC∥DH.?

∴FG∥DH.∴GF∥β.?

∵EG∩GF=G,∴平面EGF∥β.?

∵EF平面EGF,∴EF∥β.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)點P是△ABC所在平面外一點，A′，B′，C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心．
求證：（1）平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求A′B′：AB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、如圖，A，B，C為不在同一條直線上的三點，AA′∥BB′∥CC′，且AA′=BB′=CC′，求證：平面ABC∥平面A′B′C′．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

11、線段AB長為5cm，在水平面上向右平移4cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動3cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移4cm記為A′B′，依次連接構(gòu)成長方體ABCD-A′B′C′D′．
①該長方體的高為
3
cm；
②平面A′B′C′D′與面CD D′C′間的距離為
4
cm；
③A到面BC C′B′的距離為
5
cm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P是△ABC所在平面外一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
（1）求證：平面A′B′C′∥平面ABC；   
（2）求S△A′B′C′：S△ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體ABCD-A/B/C/D/的棱長為8cm，M，N，P分別是AB，A/D/，BB/棱的中點．
（1）畫出過M，N，P三點的平面與平面A/B/C/D/及平面BB/C/C的交線，并說明畫法的依據(jù)；
（2）設(shè)過M，N，P三點的平面與B/C/交于點Q，求PQ的長．

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同步練習(xí)冊答案