Question

13．在矩形ABCD中，點(diǎn)M在線段BC上，點(diǎn)N在線段CD上，且AB=4，AD=2，MN=$\sqrt{5}$，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值是10．

Answer 1

分析 先以$\overrightarrow{AB}$所在的直線為x軸，以$\overrightarrow{AD}$所在的直線為x軸，建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的位置得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出兩個(gè)向量的數(shù)量積，根據(jù)MN=$\sqrt{5}$，再由三角換元，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即要求得數(shù)量積的最小值．

解答 解：以$\overrightarrow{AB}$所在的直線為x軸，以$\overrightarrow{AD}$所在的直線為x軸，
建立坐標(biāo)系如圖，
∵AB=4，AD=2，
∴A（0，0），B（4，0），C（4，2），
D（0，2），
設(shè)M（4，b），N（c，2），
由MN=$\sqrt{5}$，可得（b-2）²+（c-4）²=5，
又$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=2b+4c，
可令b=2+$\sqrt{5}$cosθ，c=4+$\sqrt{5}$sinθ，
即有2b+4c=20+2$\sqrt{5}$cosθ+4$\sqrt{5}$sinθ
=20+10sin（θ+α），
當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，取得最小值，且為10，
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及三角換元和正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．