Question

2．如圖，三棱柱的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，AA₁⊥面A₁B₁C₁，正視圖是邊長為2正方形．
（Ⅰ）畫出該三棱柱的側(cè)視圖，并求其側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）求點(diǎn)B₁到面ABC₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析得等邊三角形的高，那么側(cè)視圖的面積=等邊三角形的高×側(cè)棱長，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)化，求點(diǎn)B₁到面ABC₁的距離．

解答 解：（Ⅰ）三棱柱的側(cè)視圖如圖所示
∵三棱柱的底面為等邊三角形，邊長為2，
作出等邊三角形的高后，組成直角三角形，底邊的一半為1，
∴等邊三角形的高為$\sqrt{3}$，
由題意知側(cè)視圖是一個(gè)高為2，寬為$\sqrt{3}$的矩形，
∴側(cè)視圖的面積為2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B₁到面ABC₁的距離為h，則
△ABC₁中，AB=2，AC₁=BC₁=2$\sqrt{2}$，面積為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$，∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴點(diǎn)B₁到面ABC₁的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查點(diǎn)B₁到面ABC₁的距離，考查幾何體的三視圖的識別能力，作圖能力，三視圖的投影規(guī)則是主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等．