Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²+mx-1．
（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時，求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1（2分）
又f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x），（3分）
所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，（6分）
所以f(x)=

x2+mx+1 x＞0 0  x=0 -x2+mx-1  x＜0

（7分）
（2）因為f（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，（8分）
由方程f（x）=0有五個不相等的實數(shù)解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，（9分）
又f（0）=0，所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，（10分）
即，方程x²+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x₁，x₂（11分）
?

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＞0 x1•x2=1＞0

?m＜-2，（14分）
所以，所求實數(shù)m的取值范圍是m＜-2（15分）