Question

【題目】已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)

【解析】

（1）由題意可得的值，再由點(diǎn)到直線的距離為，可得的值，再由，，之間的關(guān)系求出雙曲線的方程；

（2）設(shè)弦所在的直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立可得兩根之和進(jìn)而可得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由橢圓可得弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，分別討論當(dāng)的斜率存在和不存在兩種情況可得直線恒過(guò)定點(diǎn).

（1）由題設(shè)可得，，所以，.

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的弦所在的直線方程為，，，

則有.

聯(lián)立，可得.

因?yàn)橄?/span>與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，

所以，所以.

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即是點(diǎn)，此時(shí)，直線為軸.

（2）當(dāng)時(shí)，將上式點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，同理可得.

①當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，

直線的斜率，

其方程，化簡(jiǎn)得，

所以直線過(guò)定點(diǎn)；

②當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，此時(shí)，，直線也過(guò)定點(diǎn).

綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).