Question

4．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E為BC的中點(diǎn)，求B₁E與平面AD₁C所成角．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出B₁E與平面AD₁C所成角．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
由A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，2，0），D₁（0，0，2），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），B₁E=（-1，0，-2），
設(shè)平面ACD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
設(shè)B₁E與平面AD₁C所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}E}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-1+0-2}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴B₁E與平面AD₁C所成角為arcsin$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．