Question

17．如圖所示，將n²（n≥9）個正數(shù)排成n行n列的數(shù)陣，其中的每一行都成等差數(shù)列，每一列都成等比數(shù)列，各等比數(shù)列的公比都相同且不為1，若a₁₁=a₂₂=a₃₄=$\frac{1}{2}$，則a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a₉₉=（　�。�

• A． $\frac{1031}{512}$
• B． $\frac{1031}{512}$
• C． $\frac{1013}{1024}$
• D． $\frac{1031}{1024}$

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義求得q，進而可知a_nn=$\frac{n}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，進而根據(jù)錯位相減法求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)公比為q，因為a₁₁=a₂₂=a₃₄=$\frac{1}{2}$，所以a₂₁=$\frac{1}{2}$q，a₃₁=$\frac{1}{2}$q²，a₃₂=$\frac{1}{2}$q．
由a₃₁，a₃₂，a₃₃，a₃₄成等差數(shù)列，有a₃₄=a₃₁+3（a₃₂-a₃₁），得q=1（舍）或q=$\frac{1}{2}$．
所以a₁₂=1，a_1n=$\frac{n}{2}$，a_nn=$\frac{n}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
所以a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a₉₉=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{9}{{2}^{9}}$，
由錯位相減法可得a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a₉₉=$\frac{1013}{512}$．
故選：B．

點評 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查錯位相減法，考查了學生綜合分析問題的能力．