Question

（2013•揭陽一模）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）確定a與b的關(guān)系；
（2）試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）證明：對任意n∈N^*，都有l(wèi)n（1+n）＞

n

i=1

i-1

i2

成立．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)得到g^′（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出；
（2）利用（1）用a表示b，得到g^′（x），通過對a分類討論即可得到其單調(diào)性；
（3）證法一：由（2）知當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）單調(diào)遞增，可得lnx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+

1

n

，n∈N*，則ln(1+

1

n

)＞

1

n

-

1

n2

，利用“累加求和”及對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；
證法二：通過構(gòu)造數(shù)列{a_n}，使其前n項(xiàng)和T_n=ln（1+n），則當(dāng)n≥2時(shí)，an=Tn-Tn-1=ln(

1+n

n

)=ln(1+

1

n

)，顯然a₁=ln2也滿足該式，
故只需證ln(1+

1

n

)＞

n-1

n2

=

1

n

-

1

n2

，令x=

1

n

，即證ln（1+x）-x+x²＞0，記h（x）=ln（1+x）-x+x²，x＞0，再利用（2）的結(jié)論即可；
證法三：令φ（n）=ln（1+n）-

n

i=1

i-1

i2

，則φ(n+1)-φ(n)=ln(n+2)-

n

(n+1)2

-ln(n+1)=ln(1+

1

n+1

)-

1

n+1

+

1

(n+1)2

，
令x=1+

1

n+1

，則x∈（1，2]，

1

n+1

=x-1，n∈N*，記h（x）=lnx-（x-1）+（x-1）²=lnx+x²-3x+2，利用（2）的結(jié)論即可．

解答：解：（1）依題意得g（x）=lnx+ax²+bx，
則g′(x)=

1

x

+2ax+b，
由函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．
（2）由（1）得g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴①當(dāng)a≤0時(shí)，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）=0得x=1或x=

1

2a

，
若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時(shí)，由g'（x）＞0得x＞1或0＜x＜

1

2a

，由g'（x）＜0得

1

2a

＜x＜1，
即函數(shù)g（x）在(0，

1

2a

)，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在(

1

2a

，1)單調(diào)遞減；
若

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時(shí)，由g'（x）＞0得x＞

1

2a

或0＜x＜1，由g'（x）＜0得1＜x＜

1

2a

，
即函數(shù)g（x）在（0，1），(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，

1

2a

)單調(diào)遞減；
若

1

2a

=1，即a=

1

2

時(shí)，在（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）≥0，
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在(1，

1

2a

)單調(diào)遞減；在(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在(0，

1

2a

)上單調(diào)遞增，在(

1

2a

，1)單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）證法一：由（2）知當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴l(xiāng)nx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+

1

n

，n∈N*，則ln(1+

1

n

)＞

1

n

-

1

n2

，
∴ln(1+

1

1

)+ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

3

)+…+ln(1+

1

n

)＞

1

1

-

1

12

+

1

2

-

1

22

+

1

3

-

1

32

+…+

1

n

-

1

n2

，
∴ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

…×

n+1

n

)＞

12-1

12

+

22-1

22

+

32-1

32

+…+

n2-1

n2

，
即ln(1+n)＞

n

i=1

i-1

i2

．
證法二：構(gòu)造數(shù)列{a_n}，使其前n項(xiàng)和T_n=ln（1+n），
則當(dāng)n≥2時(shí)，an=Tn-Tn-1=ln(

1+n

n

)=ln(1+

1

n

)，
顯然a₁=ln2也滿足該式，
故只需證ln(1+

1

n

)＞

n-1

n2

=

1

n

-

1

n2

，
令x=

1

n

，即證ln（1+x）-x+x²＞0，記h（x）=ln（1+x）-x+x²，x＞0，
則h′(x)=

1

1+x

-1+2x=

1

1+x

-1+2x=

x(2x+1)

1+x

＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）＞h（0）=0，
∴ln(1+

1

n

)＞

n-1

n2

=

1

n

-

1

n2

成立，
以下同證法一．
證法三：令φ（n）=ln（1+n）-

n

i=1

i-1

i2

，
則φ(n+1)-φ(n)=ln(n+2)-

n

(n+1)2

-ln(n+1)=ln(1+

1

n+1

)-

1

n+1

+

1

(n+1)2

，
令x=1+

1

n+1

，則x∈（1，2]，

1

n+1

=x-1，n∈N*，記h（x）=lnx-（x-1）+（x-1）²=lnx+x²-3x+2，
∵h′(x)=

1

x

+2x-3=

(2x-1)(x-1)

x

＞0∴函數(shù)h（x）在（1，2]單調(diào)遞增，
又h（1）=0，∴當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，h（x）＞0，即φ（n+1）-φ（n）＞0，
∴數(shù)列φ（n）單調(diào)遞增，又φ（1）=ln2＞0，∴即ln(1+n)＞

n

i=1

i-1

i2

．

點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、分類討論、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、善于利用已經(jīng)證明的結(jié)論、“累加求和”及對數(shù)的運(yùn)算法則、“分析法”、“構(gòu)造法”等是解題的關(guān)鍵．