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【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于 兩點(diǎn)，且.

（1）求該拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)和.設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn).

【答案】（1）（2見解析

【解析】試題分析： 聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用弦長公式列方程解出，即可得到拋物線的方程；

設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線方程得兩根之和，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用直線點(diǎn)斜式給出直線方程，討論斜率問題即可得出定點(diǎn)

解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)，∴直線的方程為：

聯(lián)立方程組，消元得： ，

∴

∴，解得.

∵，∴拋物線的方程為： .

（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為..

由題意可設(shè)直線的方程為.

由，得.

因?yàn)橹本�與曲線于兩點(diǎn)，所以.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，也過點(diǎn).

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，分別是圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再把所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且，其中.

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x2|x2+2x-3<0},B=.

(1)在區(qū)間(-4,4)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,求“x∈A∩B”的概率;

(2)設(shè)(a,b)為有序?qū)崝?shù)對,其中a是從集合A中任取的一個(gè)整數(shù),b是從集合B中任取的一個(gè)整數(shù),求“b-a∈A∪B”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校團(tuán)委組織了“文明出行，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（單位：分）整理后，得到如下頻率分布直方圖（其中分組區(qū)間為，，…，）.

（1）求成績在的頻率，并補(bǔ)全此頻率分布直方圖；

（2）求這次考試平均分的估計(jì)值；

（3）若從成績在和的學(xué)生中任選兩人，求他們的成績在同一分組區(qū)間的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為，燈柱長為米，燈桿長為1米，且燈桿與燈柱成角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為，燈罩軸線與燈桿垂直．

⑴設(shè)燈罩軸線與路面的交點(diǎn)為，若米，求燈柱長；

⑵設(shè)米，若燈罩截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過點(diǎn)，另一條與地面的交點(diǎn)為（如圖2）

（圖1） （圖2）

（�。┣�的值；（ⅱ）求該路燈照在路面上的寬度的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若點(diǎn)P是直線2x＋y＋10＝0上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．
（1）若a=3，求A∪B；
（2）設(shè)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是等腰梯形， ， ， ，在梯形中， ，且， 平面.

（1）求證：面面；

（2）若二面角的大小為，求幾何體的體積.

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