Question

20．半徑為2的球內(nèi)有一底面邊長(zhǎng)為2的內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直底面），則當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是（　�。�

• A． $16（{π-\sqrt{3}}）$
• B． $16（{π-\sqrt{2}}）$
• C． $8（{2π-3\sqrt{2}}）$
• D． $8（{2π-\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，高為h，根據(jù)球的半徑使用勾股定理列出方程，得出a，h的關(guān)系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出側(cè)面積的最大值，做差即可．

解答 解：設(shè)球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則球的半徑r=$\sqrt{\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{2}}$=2，
∴h²+2a²=16≥2$\sqrt{2}$ah，∴ah≤4$\sqrt{2}$．
∴S_側(cè)=4ah≤16$\sqrt{2}$．
球的表面積S=4π×2²=16π．
∴當(dāng)四棱柱的側(cè)面積最大值時(shí)，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差為16π-16$\sqrt{2}$=16（$π-\sqrt{2}$）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四棱柱與外接球的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．