Question

17．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{{4{a_n}}}，{b_n}$=$\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，n∈N⁺．（1）求b₁，b₂，b₃寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式（不要求證明）；
（2）求證：對(duì)于任意的n∈N⁺都有a_n+1＜a_n；
（3）設(shè)${c_n}={（\sqrt{2}）^{b_n}}$證明：數(shù)列{c_n}不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系代入即可；
（2）確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，作差比較，即可得到結(jié)論；
（3）利用反證法，假設(shè)在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）項(xiàng)成等差數(shù)列，從而得出矛盾．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{{4{a_n}}}，{b_n}$=$\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，n∈N⁺．
∴a₂=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，a₂=1-$\frac{1}{4×\frac{3}{4}}$=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，a₃=1-$\frac{1}{4×\frac{2}{3}}$=1-$\frac{3}{8}$=$\frac{5}{8}$，
則b₁=$\frac{2}{2-1}=2$，b₂=$\frac{2}{2×\frac{3}{4}-1}=4$，b₃=$\frac{2}{2×\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6$，
則b_n=2n．
（2）證明：由（1）知b_n=2n，n∈N^*，
則$\frac{2}{{2{a_n}-1}}$=2n，
解得a_n=$\frac{n+1}{2n}$，
∵${a_n}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n}）$，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n+1}）$，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n+1}）=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}）＜0$．
即：對(duì)任意的n∈N^*，a_n+1＜a_n
（3）解：由（2）知，${c_n}={（\sqrt{2}）^{2n}}={2^n}$，
假設(shè)在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）項(xiàng)成等差數(shù)列，
則：2•2^P=2^m+2^q，∴2^p+1=2^m+2^q，∴2^p+1-m=2^q-m+1，
∵m，p，q∈N^*
∴2^p+1-m為偶數(shù)，2^q-m+1為奇數(shù)，兩者不可能相等，即假設(shè)不成立，
即在數(shù)列{c_n}中不存在三項(xiàng)可以構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查反證法的運(yùn)用，屬于中檔題．