Question

已知函數(shù)f(x)=－x³＋3x²＋9x＋m

（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）；（2）－7.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問中，求導(dǎo)數(shù)，f ′(x)＝－3x²＋6x＋9．，然后令f ′(x)<0，解得x<－1或x>3，

得到單調(diào)減區(qū)間。第二問中，因?yàn)樵冢ǎ?，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減。利用f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，因?yàn)閒(－2)＝8＋12－18＋m=2＋m，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋m，所以f(2)>f(－2)可得結(jié)論。

解：（I） f ′(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ′(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

    （II）因?yàn)閒(－2)＝8＋12－18＋m=2＋m，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋m，

     所以f(2)>f(－2)．因?yàn)樵冢ǎ?，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋m＝20，解得 m＝－2．   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．